Юрій народився в Росії. Після служби в армії дізнався, що в Попаснянське училище №85 запрошують на навчання за спеціальністю «помічника машиніста» і переїхав на Луганщину. Також заочно закінчив Лисичанський державний гірничо-індустріальний коледж. 

Кілька років працював помічником машиніста в Попасній, згодом викладав у тому ж училищі, де здобув цей фах. Останні роки працював на Попаснянському склозаводі. 

Від початку повномасштабної війни місто Попасна на Луганщині опинилося під вогнем російської армії. У квітні 2022 тут точилися запеклі бої. Люди жили у бомбосховищах, виходити на вулицю було небезпечно через постійні обстріли. 

Втім, Юрій Можаров не хотів виїжджати з міста. Пояснював, що залишається в Попасній, бо тут поховані його батьки. Вони також свого часу переїхали на Луганщину. 

17 квітня 2022 року Юрій вийшов на подвірʼя біля свого будинку на вулиці Північній, 50 саме у той час, коли неподалік прилетіла російська ракета. Він отримав осколкове поранення в груди та обличчя і загинув.

«Юрій був надзвичайно доброю людиною, радо приходив на допомогу. Навіть під час постійних обстрілів у Попасній допомагав розвозити продукти тамтешньому волонтеру», – розповіла сестра загиблого Тетяна Можарова.

У Юрія Можарова залишилася сестра Тетяна з сімʼєю.