Максим народився 21 вересня 1994 року у селі Старий Косів Івано-Франківської області. Навчався у Косівській гімназії-інтернаті, потім – в Івано-Франківському фінансово-комерційному фаховому коледжі імені Степана Граната. Писав вірші.
У 2018 році закінчив курси лідерства в Одеській військовій академії та отримав офіцерське звання «молодший лейтенант». У 2024 році став слухачем Воєнно-дипломатичної академії Євгенія Березняка.
Максиму було 19 років, коли він долучився до ЗСУ у 2014-му. Військовий шлях Єнота був сповненим значущими подіями. 11 років, понад третину свого життя, він віддав захисту України на найгарячіших напрямках. Максим був добровольцем батальйону «Айдар», навідником-оператором у 54-му окремому розвідувальному батальйоні, командиром взводу у 10-й гірсько-штурмовій бригаді «Едельвейс», командиром піхотної роти у 24-й окремій механізованій бригаді імені короля Данила; оперативним черговим відділення поточних бойових дій штабу 24-ї ОМБр; командиром мотопіхотного батальйону 10 ОГШБр (з 1 червня 2022 р.). Зрештою Єнот став старшим офіцером підрозділу спеціального призначення ГУР МО.
«Все моє доросле життя – це війна. Пройшов увесь шлях від солдата до командира роти... Ми просто робимо свою роботу. І це нормально для військових. Коли смерть і життя на короткій грані – це важко. Але нічого, справляємося, мусимо», – говорив Максим в одному із інтерв'ю.
«Максим – це втілення мужності, самовідданості та незламної віри в перемогу України. Принциповий, справедливий, професійний. Завжди був вірний своїм цінностям, поглядам та обраному шляху. Мені не зустрічалася більш стійка у своїх поглядах і баченнях людина ніж Макс. Правдолюбивий, справедливий, чесний і надзвичайно добрий. Як я йому часто казала: «Ти занадто хороший для цього поганого світу». І це було правдою. Людину з таким добрим серцем мені не доводилося зустрічати», – розповіла Оксана Рубаняк, наречена.
За життя військовий був нагороджений орденом «За мужність» ІІІ ступеня, медаллю «За військову службу Україні», а посмертно – медаллю «Хрест бойових заслуг». Указом Президента України Максиму Ємцю присвоєно звання Героя України (посмертно).
«Він ніколи не зупинявся. Без вагань ішов вперед. А за ним ішли люди, які довіряли йому. Він мав стрижень і характер, а значить, завжди був потрібен у бою побратимам. «Я готовий до останньої краплі крові воювати за свою Батьківщину», – писав він мені. Так і сталося. Таким був Максим»,– написав Валерій Залужний, генерал та Головнокомандувач ЗСУ (2021 – 2024 років).
«Максим зробив те, що рідко кому вдається за життя – він приніс зміни в суспільство, він приніс зміни в підрозділ, він зумовив розвиток»,– зазначив Шаман, командир частини, в якій служив Єнот
«Я мала за честь знати тебе, мала за честь кохати і бути коханою тобою, робити тебе щасливим, окриленим. Ти був у моєму житті, щоб показати мені, що таке істинне кохання. Щоб бути зі мною щасливим і щоб я була біля тебе щасливою. Ти прийшов, щоб потім я могла відчути і розпізнати тебе. Я впізнаю, обіцяю. Кохаю, всесвіте», – додала наречена.
Офіцера поховали на Алеї Героїв Чукалівського кладовища.
У нього залишилися мама Надія, бабуся Марія, дідусь Валентин, донька Квітослава, наречена Оксана та велика родина.
«Я живий! Я боротись не зупинився,
Мій ангел смерті давно заблудився.
Кулі летіли, та не взяли,
Твої закохані очі мене вберегли.
Запал у очах, та серце палає
Я борюсь, хоч душа вже знемагає.
Попіл і пил засипають мій шлях,
Ворогів хай переслідує жах», – писав Максим Ємець.
У 2025 році вийшла збірка віршів «Наше ратне діло та роздуми про вічне», над якою Максим працював прижиттєво. Всі вірші та ілюстрації затверджені автором особисто.
