Народився Сергій у селі Тишиця Рівненської області. Навчався у Млинівському технолого-екологічному коледжі (раніше – радгосп-технікум), де здобув спеціальність техніка-рибовода, однак за фахом не працював. Життя присвятив будівництву – працював переважно у Київській області. Вмів робити практично все. Власноруч звів власний будинок. У вільний час читав, дивився фільми про війну, історичні й документальні стрічки. Любив футбол. Мріяв відвідати НСК «Олімпійський».
Коли почалося повномасштабне вторгнення, чоловік сказав рідним, що не стоятиме осторонь. У лютому 2022 року він добровільно мобілізувався. Служив у складі 14-ї окремої механізованої бригади, був командиром відділення протитанкових керованих ракет.
«Тато завжди був дуже щирим, відкритим до людей, завжди готовий допомогти. Нас із сестрою він підтримував у будь-яких починаннях, робив все для того, аби ми мали все, заради цього багато працював. Тато міг вирішити будь-яку проблему, завжди знаходив слова підтримки і казав, як він нас любить. Тато – це всеосяжна доброта, любов і турбота», – поділилася донька Тетяна.
Посмертно Сергій Шельчук нагороджений орденом «За мужність» III ступеня та «Князівським хрестом Героя «Навіки в строю». Йому присвоєно звання «Почесний громадянин Березнівської міської територіальної громади». У рідному селі Тишиця на території ліцею, де навчався захисник, відкрили меморіальну дошку на його честь.
Поховали воїна у рідному селі.
У Сергія залишились мама, дві сестри, брат, дружина та дві доньки. Його батько помер через півтора року після загибелі сина.
