Олексій народився в Києві. Закінчив місцеве професійно-технічне училище №19. Здобув спеціальність автослюсаря. Працював в Інституті післядипломної педагогічної освіти.
9 січня 2023 року Олексій став до лав Збройних Сил України. Служив у 3-ій роті 82-ої окремої десантно-штурмової бригади. Обіймав посаду командира десантно-штурмового відділення.
Своє псевдо Католик отримав, бо був католиком за віросповіданням.
«Ти завжди казав мені: я з тобою. Дякую тобі, що ти завжди з нами, і віддав за наше мирне небо найдорожче – своє життя, не вагаючись ні секунди», – написала дружина Валентина.
Олексія Чайковського поховали на Берковецькому кладовищі в Києві.
Посмертно він нагороджений орденом «За мужність» ІІІ ступеня.
У захисника залишились батько, дружина, двоє синів і теща.
