Максим народився у місті Кам'янець-Подільський Хмельницької області, навчався у місцевій школі №5, потім закінчив Кам'янець-Подільський індустріальний коледж за спеціальністю «Розробка програмного забезпечення», навчався за тією ж спеціальністю на заочній формі у Тернопільському національному економічному університеті. З ранніх років займався спортивним туризмом, досяг перших дорослих розрядів зі спортивного туризму та спортивного орієнтування.
У 2015 році розпочав навчання у військових рядах. Пізніше став інструктором зі штурмового альпінізму парамілітарної організації «Сокіл». Максим також був командиром київського осередку організації «Авангард Культурна Спілка». Для столичного видавництва «Пломінь» перекладав книжки з італійської, французької та англійської. Був хедлайнером проєкту допомоги дитбудинкам «Наше майбутнє».
У травні 2021 року Булінь поїхав на війну в складі добровольчого підрозділу «Фрайкор». Був кулеметником. Перебував у резерві полку «Азов».
З першого дня повномасштабної війни, 24 лютого 2022 року, Булінь став на захист України. Брав участь у боях за Київщину в складі тактичної групи спецпризначення «Азов» Сил спеціальних операцій.
«Максим був людиною активної громадянської позиції. Завжди відрізнявся ставленням до своєї нації та свого коріння. Він є втіленням сильного, хороброго, вольового українського духу. Він дуже любив свою землю, довів це своїми вчинками та героїчною смертю», – зазначила дружина Тетяна Міленна.
Посмертно Максим нагороджений відзнакою Кам'янець-Подільського міського голови «За заслуги перед міською громадою».
Поховали захисника на Алеї Героїв у рідному місті.
У Максима залишилися батьки, сестра, дружина.
