Максим народився в місті Калинівка Вінницької області. Коли хлопець був у другому класі, сім’я переїхала в Козятин. Там навчався у школі №1, займався легкою атлетикою. Мав особливі досягнення в стрибках у висоту, їздив на змагання, де здобував медалі та грамоти. У 2014 році закінчив Гущинецьке вище професійне училище, де опанував професію машиніста автомобільного крана. Працював у Києві на базі будматеріалів продавцем-консультантом.
У 2016 році Максима призвали на строкову службу. У лютому 2017 року він підписав контракт, служив у Гостомелі. Влітку 2017 року боєць поїхав до Маріуполя у військову частину 3057 з проханням взяти його на службу до «Азова», а вже у жовтні був у лавах батальйону.
«Дуже був патріотом України. Поспішав жити, щоб все встигнути за своє коротке життя. Казав «Якщо не я, то хто?», коли я просила його не йти служити на контракт. І коли вже служив, то просив мене погодитись з його рішенням, бо йому важко було жити без моєї згоди. Я прийняла всі його рішення, зробила це для нього», – розповіла його мати Інна.
«Ми познайомились з Максоном у фейсбуці, почали спілкуватися. І коли я в нього запитала, чим він займається, він відповів : «Нищу ворогів української нації». Він назавжди запамʼятається мені такою ідейною і сміливою людиною. Таких людей дуже мало», – сказала подруга Тетяна.
Максима Олексюка посмертно відзначили орденом «За мужність» III ступеня, почесним знаком «Маріуполь. Відстояли – Перемогли», нагрудним знаком НГУ «За доблесну службу».Також воїну надали звання «Почесний громадянин міста Козятин» і нагородили його відзнакою міськради «За героїзм та патріотизм».
Поховали бійця в місті Козятин.
У пам’ять про Максима, 23 серпня, у День Державного прапора, в Козятині відкрили мурал. А 8 червня 2021 року на фасаді загальноосвітньої школи №1 на честь воїна встановили меморіальну дошку.
У нього залишилися мама та брат.
